2021年中国数学奥林匹克（CMO)第一天试题及解析

顶着新冠疫情的风险，2021年中国数学奥林匹克（简称CMO）于12.19-12.25于福建师大附中举行，全国数学竞赛高手云集。只有少数几个省市自治区因为疫情原因，无法现场参与，只能申请线上考试。

今天是考试的第一天，三个题目的第一个题目是几何题。本文写一下本人的思考过程和解答。

首先根据题意画出准确图形，

AB=a给定，动点C满足BC=b,

则C在以B为圆心b为半径的圆上运动，

D是以A为圆心a为半径的圆和以C为圆心b为半径的两个圆的另一个交点，

更简单的描述方式是D为B关于AC的对称点。

ABCD显然是一个筝形，AC平分交∠BAD,∠BCD,从而其内心为∠CBA的角平分线和AC的交点E。

此点几乎和D无关，从而可以消去点D。得到下图

本题相当于在△ABC中，AB=a给定,BC=b,

BE为角平分线，求E的轨迹。

由角平分线定理AE/EC=a/b,

即AE/AC=a/(a+b),

这显然是一个位似变换，

即E为将C沿着AC方向缩短为a/(a+b)，

C在圆上，故E也在一个圆上，其圆心F在AB上且满足AF/AB=a/(a+b),即EF//CB.

由角平分线得FE=FB,

从而得到E在以F为圆心FB为半径的圆上运动。

这就基本解决了本题。

还有哪些遗留问题呢？

要注意的是求E的轨迹，

其含义是充要条件，即

既要考虑完备性，不能遗漏；

还要考虑纯粹性，不能多余。

我们上面只是证明了点E在圆F上，

相当于证明了完备性，

下面还要考虑纯粹性，

即是否圆上每个点都满足条件？

仔细阅读原题，要求ABCD是一个非退化的凸四边形。

则ABC不共线，从而点B要剔除掉。

由对称性，我们不妨只考虑上半弧，

让C向靠近A方向运动时，可能BCD或者DAB共线，以后就会退化为凹四边形。如下图所示：

看来还要分a=b,ab三种情况讨论，

a=b时，ABCD为菱形，只有A、B两端不满足。

a<b时，DAB共线是临界状态。

此时∠AFE=∠ABC=arccos(a/b),以后都不满足，

圆弧E'B（不包括两端）即为所求。

a>b时，DCB共线是临界状态。

此时∠AFE=∠ABC=arccos(b/a),以后都不满足，

故圆弧EB（不包括两端）即为所求。如下图所示：

这基本就是完整的解答了。最后将解答整理如下：

解答：

依题意C在以B为圆心b为半径的圆上运动，

△ABC≅△ACD(SSS)，

则D为B关于AC的对称点

且AC平分交∠BAD,∠BCD,

从而ABCD内切圆圆心为∠CBA的角平分线和AC的交点E。

令F在AB上且EF//CB.

则由角平分线定理

得AE/EC=a/b，故

AF/AB=AE/AC=a/(a+b),

由角平分线得FE=FB,

从而E在以定点F为圆心FB为半径的圆上。

要求ABCD是一个非退化的凸四边形。

则ABC不共线，从而点B要剔除掉。

由对称性，我们不妨只考虑上半弧，

让C向靠近A方向运动，

a=b时，ABCD为菱形，只有A、B两端点不满足。

a<b时，ABD共线时

∠AFE'=∠ABC'=arccos(a/b),

以后ABCD为凹四边形，都不满足，

故圆弧E'B（不包括两端）即为所求。

a>b时，DCB共线时

∠AFE'=∠ABC'=arccos(b/a),

以后ABCD为凹四边形，都不满足，

故圆弧E'B（不包括两端）即为所求。

综上，令E为ABCD内切圆圆心，

F在线段AB上AF/AB=a/(a+b),

定义x满足a<b时,x=a/b;a≥b时,x=b/a;

以F为圆心FB为半径的圆为圆c.E'在圆c上,且∠AFE'=arccosx。

则E的轨迹为圆c上关于AB对称的两段圆弧，

其中上半段圆弧为劣弧E'B（不包括两端点）.

注：

本题难度不高，入手容易，

得满分略难。很适合作为冬令营第一题。

一方面能够稳定军心，让学生吃个定心丸，几乎让所有学生都能得分。

另一方面题目也有一定的区分度，毕竟要讨论完备不太容易。

估计有90%以上的学生本题能得分，得满分的有1/4吧。

此题满分21分，每3分一个档次。得到F的轨迹为圆F估计能得12分。

本题是轨迹问题，轨迹和作图问题是几何中综合性较强的问题。

因为它要同时考虑到完备性和纯粹性，可能还要分类讨论。

不只考察学生的几何水平及逻辑思维能力，还需要一定的代数计算。

不过这些年数学竞赛中轨迹和作图等考的不多了，特别在IMO中，

近二三十年几乎没有直接考察过轨迹和作图问题。

原因一方面有了电脑作图软件，轨迹和作图问题瞬间即可完成，

其在几何中的重要性就大大降低了；

另一方面有些国家的数学教材中不太强调轨迹的概念，

所以有些学生对轨迹的定义不是很清楚，因此略显超纲。

所以竞赛中的几何还是主要倾向于考察学生的几何推理水平，以相似共圆等为主。

我国近30年的联赛中几何中也基本不考轨迹作图，冬令营中2018年第4题考察了与椭圆有关的作图题，2017年国家队选拔考试中也考察过轨迹问题。考察此类问题有偷袭和提醒的意味，虽然竞赛中主要考察解题的技巧，但是希望竞赛学生不要舍本逐末，仅仅重视解题的技巧，而忽略基础知识的学习，在基本知识方面出现漏洞。为以后的竞赛学生的学习敲响警钟。

以下为陈晨解析

注：Problem 3讨论部分由王正老师提供。